P(trending) 算法原理说明

SHI XIAOLONG

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P(trending) 算法原理说明

1. 概述

P(trending) 是 BOCPD（贝叶斯在线变点检测）的核心输出，表示"当前市场处于趋势状态"的概率。当 P(trending) > 0.8 时，动量过滤器在 Layer0 硬拦截开仓信号。

总公式：

P(trending) = Σ P(r) × P(trending | r)

含义：对每个可能的 run length r，分别计算"该 regime 是否有趋势"的概率，然后按 r 自身的概率加权求和。

这个计算同时处理了两层不确定性：

  1. 变点在哪？（不确定 run length）→ 用 P(r) 加权
  2. 给定变点位置，漂移是否显著？（不确定均值大小）→ 用后验分布的尾部面积

2. 计算流程

2.1 总体结构

def trend_probability(self) -> float:
    delta = self._drift_threshold          # 0.0005（0.05%/5min）
    total = 0.0
    for i in range(len(self._log_probs)):
        prob = P(r=i)                      # 第一层：run length 的概率
        p_trend = P(trending | r=i)        # 第二层：该 run length 下的趋势概率
        total += prob * p_trend            # 加权累加
    return total

以下逐步展开每一层的计算。

3. 第一层：P(r) — run length 的概率

3.1 什么是 run length

run length r 表示"距离上一个变点已经过了多少根 K 线"。算法同时维护 r=0, 1, 2, ..., 59，每个 r 都有一个概率 P(r)，所有概率之和为 1。

P(r=0) = 0.05   "刚刚发生了变点"
P(r=1) = 0.60   "当前 regime 持续了 1 根 K 线"  ← MAP（最大后验）
P(r=2) = 0.15   "当前 regime 持续了 2 根 K 线"
P(r=5) = 0.10   "当前 regime 持续了 5 根 K 线"
...

3.2 P(r) 的更新机制

每收到一根新 K 线，P(r) 通过两个路径更新：

增长路径（没有发生变点，r 加 1）：

P_new(r+1) ∝ P_old(r) × π(x|r) × (1 - H)

变点路径（发生了变点，r 重置为 0）：

P_new(r=0) ∝ Σ_r [ P_old(r) × π(x|r) × H ]

其中：

  • π(x|r) 是 run length r 对当前观测 x 的预测概率（似然）
  • H = 0.05 是变点先验概率（hazard rate）
  • 更新后归一化使所有 P(r) 之和为 1

4. 第二层：P(trending | r) — 给定 run length 下的趋势概率

这是 P(trending) 计算的核心。对每个 r，需要回答："如果当前 regime 从 r 根 K 线前开始，那这段时间的数据是否表现出显著的趋势？"

4.1 μ_r 的后验分布

对 run length r，贝叶斯更新后得到 NIG 后验参数 (μ_r, κ_r, α_r, β_r)。其中 μ_r（均值的点估计）的真实值不是一个确定的数，而是服从 Student-t 分布：

μ_r 的真实值 ~ Student-t(df=2α_r, center=μ_r, scale=√(β_r/(α_r·κ_r)))

三个参数的含义：

参数 公式 含义 数据越多时
center（中心） μ_r 均值的最佳猜测 越接近真实均值
scale（尺度） √(β_r/(α_r·κ_r)) 猜测的不确定性 越小（越自信）
df（自由度） 2α_r 分布的厚尾程度 越大（越接近正态）

4.2 后验分布随数据量的变化

r=1（1 个观测）：

κ₁ = 2, α₁ = 3.5, scale 较大, df = 7
→ 分布宽且厚尾，不确定性大

        ┌───────────────────────┐
       ╱                         ╲
     ╱                             ╲
   ╱                                 ╲
──╱───────────────────────────────────╲──
                  μ₁
         ←── scale 大，分布宽 ──→

r=30（30 个观测）：

κ₃₀ = 31, α₃₀ = 18, scale 较小, df = 36
→ 分布窄且接近正态，不确定性小

              ┌───┐
             ╱│   │╲
           ╱  │   │  ╲
         ╱    │   │    ╲
────────╱─────│───│─────╲────────
              μ₃₀
         ←scale 小→

4.3 P(trending | r) 的计算

定义：μ 的真实值落在"无趋势区间" [-δ, +δ] 之外的概率（δ = drift_threshold = 0.0005）。

P(trending | r) = P(μ真实 > +δ) + P(μ真实 < -δ)
               = 右尾面积 + 左尾面积

图示：

                无趋势区间
                ┃←──────→┃
                ┃        ┃
      ┌─────────┃────────┃─────────┐
     ╱  左尾    ┃        ┃  右尾    ╲
    ╱ (下跌趋势)┃ (噪声) ┃(上涨趋势) ╲
──╱─────────────┃────────┃───────────╲──
           -0.0005    +0.0005
                ┃        ┃

P(trending|r) = 左尾面积 + 右尾面积
              = 阴影部分的总面积

代码实现：

# 将 ±δ 转换为 Student-t 分布上的标准化位置
t_upper = (delta - mu) / scale       # +0.0005 的位置
t_lower = (-delta - mu) / scale      # -0.0005 的位置

# 计算尾部面积
p_trend = (1.0 - CDF(t_upper))      # 右尾：P(μ真实 > +δ)
        + CDF(t_lower)               # 左尾：P(μ真实 < -δ)

4.4 不同场景下的 P(trending | r)

场景 A：数据少，观测极端（r=1, μ=-0.004, scale=0.0027）

t_upper = (0.0005 - (-0.004)) / 0.0027 = 1.67
t_lower = (-0.0005 - (-0.004)) / 0.0027 = 1.30

P(trending|r=1) = (1 - CDF(1.67)) + CDF(1.30)
                ≈ 0.07 + 0.87 = 0.94

→ 94%。观测值太极端（-0.8%），即使只有 1 个数据点，
  后验分布大部分面积也在无趋势区间之外。

                   -δ    +δ
                    ┃    ┃
    ████████████████┃    ┃███
   ╱████████████████┃    ┃███╲
  ╱█████████████████┃    ┃████╲
─╱──────────────────┃────┃─────╲─
               μ₁=-0.004
     大部分面积在 -δ 左边（下跌趋势）

场景 B：数据多，均值显著（r=30, μ=-0.001, scale=0.0003）

t_upper = (0.0005 - (-0.001)) / 0.0003 = 5.0
t_lower = (-0.0005 - (-0.001)) / 0.0003 = -1.67

P(trending|r=30) = (1 - CDF(5.0)) + CDF(-1.67)
                 ≈ 0.00 + 0.95 = 0.95

→ 95%。均值只有 -0.1%，但 scale 极小（0.03%），
  算法非常自信真实均值在无趋势区间之外。

                        -δ    +δ
                         ┃    ┃
                  ████████┃    ┃
                 ╱████████┃    ┃
                ╱█████████┃    ┃
──────────────╱───────────┃────┃──
              μ₃₀=-0.001
  分布窄，几乎全部面积在 -δ 左边

场景 C：数据中等，均值不明显（r=20, μ=-0.0003, scale=0.0004）

t_upper = (0.0005 - (-0.0003)) / 0.0004 = 2.0
t_lower = (-0.0005 - (-0.0003)) / 0.0004 = -0.5

P(trending|r=20) = (1 - CDF(2.0)) + CDF(-0.5)
                 ≈ 0.03 + 0.31 = 0.34

→ 34%。均值接近 0，不确定性中等，
  大部分面积在无趋势区间之内。

                   -δ         +δ
                    ┃         ┃
              ██████┃─────────┃██████
             ╱██████┃         ┃██████╲
           ╱████████┃         ┃████████╲
─────────╱──────────┃─────────┃──────────╲──
                μ₂₀=-0.0003
  分布中等宽度，大部分面积在无趋势区间之内

场景 D：数据多，均值接近零（r=40, μ=-0.00005, scale=0.0002）

t_upper = (0.0005 - (-0.00005)) / 0.0002 = 2.775
t_lower = (-0.0005 - (-0.00005)) / 0.0002 = -2.225

P(trending|r=40) = (1 - CDF(2.775)) + CDF(-2.225)
                 ≈ 0.004 + 0.015 = 0.019

→ 1.9%。均值几乎为零，且分布很窄，
  算法自信地判定没有趋势。

5. 第三层：加权求和

将所有 r 的结果汇总：

P(trending) = Σ P(r) × P(trending | r)

5.1 完整数值示例

r P(r) μ_r scale P(trending|r) 贡献
0 5% 0.0000 — 50%（先验） 0.025
1 60% -0.0040 0.0027 94% 0.564
5 15% -0.0025 0.0015 88% 0.132
20 8% -0.0003 0.0004 34% 0.027
30 10% -0.0010 0.0003 95% 0.095
其他 2% ... ... ... 0.010
合计 100% 0.853

P(trending) = 0.853 > 0.8 → 触发拦截

5.2 各 r 的贡献分析

从上面的例子可以看出：

  • r=1 贡献了 0.564（占总值的 66%）：概率最高且 P(trending|r) 也高，主导了结果
  • r=5 贡献了 0.132（15%）：次要贡献
  • r=30 贡献了 0.095（11%）：虽然概率不高（10%），但 P(trending|r) 很高（95%）
  • r=20 贡献了 0.027（3%）：均值不明显，P(trending|r) 低，贡献小

6. drift_threshold 的作用

drift_threshold = 0.0005（每根 5m K 线 0.05%）是"有经济意义的最小漂移"。

6.1 为什么需要这个阈值

如果没有阈值（δ=0），那么问题变成"μ 是否恰好等于 0"。在连续分布下，P(μ=0) 永远是 0，所以 P(trending) 永远是 100%——这没有意义。

δ=0.0005 定义了一个"噪声带"：收益率在 ±0.05% 以内视为正常波动，只有超出这个范围才算有趋势。

6.2 阈值对结果的影响

drift_threshold 效果
太小（如 0.00001） 几乎任何微小漂移都算趋势，P(trending) 持续偏高，频繁误拦截
合适（0.0005） 过滤掉正常波动，只捕捉有意义的趋势
太大（如 0.01） 只有极端趋势才触发，失去保护作用

7. 与 drift_mean 的区别

drift_mean P(trending)
公式 Σ P(r) × μ_r Σ P(r) × P(|μ_r| > δ | 后验)
输出 一个数值（有方向和大小） 一个概率（0~1）
考虑不确定性 否，直接用点估计 μ_r 是，用 μ_r 的完整后验分布
用途 诊断信息：趋势方向和强度 决策依据：是否拦截

关键区别：drift_mean 可能因为少量数据下 μ_r 的噪声而偏大，但 P(trending) 会通过后验分布的宽度（scale）自动降权——数据少时 scale 大，P(trending|r) 不会盲目偏高。

示例：r=1 只有 1 个观测 x=-0.002

  • drift_mean 的贡献：P(r=1) × μ₁ = 0.6 × (-0.001) = -0.0006（看起来有趋势）
  • P(trending|r=1)：后验分布宽，μ 在 ±0.0005 内的概率不低 → P(trending|r=1) 可能只有 60%
  • P(trending) 的贡献：0.6 × 0.6 = 0.36（被不确定性压低了）

8. Student-t CDF 的近似实现

P(trending|r) 的计算依赖 Student-t 分布的 CDF。代码中使用两种近似：

df < 30 时：正则化不完全 Beta 函数的连分数展开

p = t² / (df + t²)
# 然后用连分数近似计算 I_p(df/2, 1/2)

df >= 30 时：正态近似（Abramowitz & Stegun 多项式逼近）

z = t × (1 - 1/(4·df)) / √(1 + t²/(2·df))
# 然后用正态 CDF 的多项式近似

这使得整个计算无需依赖 scipy 等外部库，适合在线实时环境。

9. 完整代码注释版

@property
def trend_probability(self) -> float:
    delta = self._drift_threshold                    # 0.0005

    total = 0.0
    for i in range(len(self._log_probs)):
        # ── 第一层：P(r=i) ──
        prob = math.exp(self._log_probs[i])
        if prob < 1e-8:                              # 概率太小，跳过
            continue

        # ── 第二层：构建 μ 的后验 Student-t 分布 ──
        mu, kappa, alpha, beta = self._suff[i]
        df = 2 * alpha                               # 自由度
        scale = math.sqrt(beta / (alpha * kappa))     # 不确定性尺度

        # ── 第二层：计算 P(trending | r=i) ──
        # 将 ±delta 转换为 Student-t 分布上的标准化坐标
        t_upper = (delta - mu) / scale               # +δ 的位置
        t_lower = (-delta - mu) / scale              # -δ 的位置

        # 尾部面积 = P(μ真实 > +δ) + P(μ真实 < -δ)
        p_trend = (1.0 - _student_t_cdf(t_upper, df)   # 右尾
                   + _student_t_cdf(t_lower, df))        # 左尾

        # ── 加权累加 ──
        total += prob * p_trend

    return min(1.0, max(0.0, total))

10. 算法特性总结

特性 说明
双层不确定性建模 同时处理"变点在哪"和"均值是否显著"两个不确定性
自适应置信度 数据少时后验宽（保守判断），数据多时后验窄（自信判断）
概率输出 输出连续概率而非二值判断，便于与阈值比较和跨层共享
无外部依赖 Student-t CDF 用连分数/正态近似实现，无需 scipy
在线计算 每根 K 线更新复杂度 O(R)，R=60，适合实时系统
经济意义 drift_threshold 保证只检测有交易意义的趋势，过滤噪声

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