BOCPD 贝叶斯后验概率加权估计算法说明

1. 算法背景

BOCPD（Bayesian Online Changepoint Detection，贝叶斯在线变点检测）是 Adams & MacKay (2007) 提出的在线算法，用于实时检测时间序列中的"机制切换"（regime change）。

在交易系统中，它被用于检测价格是否进入了趋势状态。如果检测到强趋势，动量过滤器会在 Layer0 硬拦截开仓信号，避免在剧烈单边行情中逆势交易。

核心问题：给定一段不断增长的 K 线数据，如何实时判断"当前价格是在随机波动，还是在持续朝某个方向移动"？

2. 核心概念

2.1 Run Length（当前 regime 持续长度）

BOCPD 的核心变量是 run length r，表示"距离上一个变点已经过了多少根 K 线"。

• r=0：刚刚发生了变点（regime 切换），一切从头开始
• r=5：当前 regime 已经持续了 5 根 K 线
• r=30：当前 regime 已经持续了 30 根 K 线（约 2.5 小时）

关键设计：算法不确定变点到底在哪里，所以它同时维护所有可能的 run length（r=0, 1, 2, ..., 59），每个 r 都有一个概率 P(r)，所有概率之和为 1。

2.2 NIG 后验（Normal-Inverse-Gamma）

对每个 run length r，算法维护一个独立的 NIG 后验分布，用 4 个参数描述：

其中 μ_r 是最重要的：它回答了"如果当前 regime 从 r 根 K 线前开始，那这段时间内每根 K 线的平均收益率是多少"。

2.3 Hazard Rate（变点先验概率）

hazard_rate = 0.05，意味着每根 K 线有 5% 的概率发生变点，即平均每 20 根 K 线（约 1.7 小时）出现一次 regime 切换。这是一个先验假设，控制了算法对变点的敏感度。

3. 算法运行流程

3.1 初始状态

_log_probs = [0.0]          → P(r=0) = 100%
_suff = [(μ₀=0, κ₀=1, α₀=3, β₀=5e-5)]   → 先验：均值为 0，方差很小

只有一个 run length r=0，概率为 100%。先验认为收益率均值为 0（无趋势）。

3.2 每根 K 线的更新（update）

输入：x = log(close / prev_close)（当根 K 线的对数收益率）

步骤 1：计算预测概率

对每个现有 run length r，用它的 NIG 后验计算"观测到 x 的概率"：

π(x | r) = Student-t 分布的概率密度
         = Student-t_{2α_r}(x; μ_r, β_r(κ_r+1)/(α_r·κ_r))

直觉：如果 r 对应的 regime 能很好地"解释"当前观测 x，那 π(x|r) 就大。

步骤 2：增长概率

如果没有发生变点，run length 加 1：

P(r+1 | 新数据) ∝ P(r | 旧数据) × π(x|r) × (1 - H)

含义：旧的 r 变成 r+1 的概率 = 旧概率 × 观测似然 × 不发生变点的概率(95%)

步骤 3：变点概率

如果发生了变点，run length 重置为 0：

P(r=0 | 新数据) ∝ Σ_r [ P(r | 旧数据) × π(x|r) × H ]

含义：所有旧 run length 都有可能在这一步"断裂"，各自贡献 5% 的概率汇总到 r=0。

步骤 4：更新后验参数

对每个 run length，用新观测 x 更新 NIG 后验：

κ_new = κ + 1
μ_new = (κ × μ + x) / κ_new      ← 先验均值和观测的加权平均
α_new = α + 0.5
β_new = β + κ(x - μ)² / (2κ_new)  ← 方差估计的更新

μ_new 的直觉：它是"旧估计"和"新观测"的加权平均。κ 越大（看过的数据越多），旧估计的权重越大，新观测的影响越小。

步骤 5：归一化 + 截断

所有概率归一化使其和为 1，并截断到 max_run=60 防止无限增长。

3.3 更新过程图示

时刻 t-1 的状态：
  r=0: P=0.05, μ₀=0.000
  r=1: P=0.15, μ₁=-0.002
  r=2: P=0.30, μ₂=-0.003
  r=3: P=0.50, μ₃=-0.001

              │
              ▼ 收到新 K 线: x = -0.005 (跌 0.5%)
              │
时刻 t 的状态：
  r=0: P=0.08, μ₀=0.000         ← 变点：所有旧 r 贡献了 5% 汇聚到这里，后验重置为先验
  r=1: P=0.04, μ₁=-0.0025       ← 从旧 r=0 增长来，μ=(1×0 + (-0.005))/2
  r=2: P=0.13, μ₂=-0.003        ← 从旧 r=1 增长来，μ=(2×(-0.002) + (-0.005))/3
  r=3: P=0.27, μ₃=-0.0035       ← 从旧 r=2 增长来
  r=4: P=0.48, μ₄=-0.002        ← 从旧 r=3 增长来（概率最高 → MAP_r=4）

4. 概率加权估计

4.1 drift_mean 的计算

算法不选择某一个 run length，而是对所有 r 的后验均值 μ_r 做概率加权求和：

drift_mean = Σ P(r) × μ_r
           = P(r=0)×μ₀ + P(r=1)×μ₁ + P(r=2)×μ₂ + ...

这就是"贝叶斯后验的概率加权估计"——在不确定变点位置的情况下，综合所有可能性得出一个整体的趋势方向和强度估计。

数值示例

drift_mean ≈ -0.0058，表示概率加权后的平均漂移为每根 K 线 -0.58%。

注意事项

drift_mean 不等于最近 N 根 K 线收益率的算术平均。它有两个特点：

1. 受 MAP run length 主导：如果 MAP_r 很小（如 r=1），那个 r 的 μ 只基于 1-2 个观测，估计不稳定，但概率权重大，容易主导结果
2. 混合了不同时间尺度的 regime：短 run length（看最近几根）和长 run length（看最近几十根）的 μ 被混合在一起

因此 drift_mean 应作为趋势方向和强度的定性指标（正=上涨、负=下跌、绝对值大=趋势强），而非精确的"每根 K 线实际平均收益率"。

4.2 trend_probability 的计算

真正决定是否拦截的是 P(trending)，它比 drift_mean 更严谨：

P(trending) = Σ P(r) × P(|μ_r 的真实值| > drift_threshold | 后验分布_r)

对每个 r，不是直接看 μ_r 的点估计，而是考虑 μ_r 的不确定性：

μ_r 的后验分布 ~ Student-t_{2α_r}(μ_hat_r, β_r/(α_r·κ_r))

P(trending | r) = P(μ_r > +0.0005) + P(μ_r < -0.0005)
                = 后验分布在 ±drift_threshold 之外的面积

• r 小（数据少）：后验分布宽，不确定性大。即使 μ_r 看起来偏离 0，也可能是噪声
• r 大（数据多）：后验分布窄，如果 μ_r 偏离 0，大概率是真实趋势

最终按 P(r) 加权求和，得到一个综合了所有不确定性的趋势概率。

图示

drift_threshold = ±0.0005

r=1 (数据少，分布宽):
         ┌─────────────┐
        ╱│             │╲
      ╱  │             │  ╲
────╱────│─────────────│────╲────
 -0.005  -0.0005   +0.0005  +0.005
         ← 阴影面积 = P(trending|r=1) ≈ 70% →

r=20 (数据多，分布窄，且均值偏离 0):
                       ┌──┐
                      ╱│  │╲
                    ╱  │  │  ╲
──────────────────╱────│──│────╲──
 -0.005  -0.0005  +0.0005  +0.005
                  ← P(trending|r=20) ≈ 98% →

5. 辅助诊断指标

5.1 MAP_r（最大后验 run length）

MAP_r = argmax_r P(r)

概率最高的 run length。MAP_r=1 说明算法认为最可能的情况是"刚发生了变点，当前 regime 才 1 根 K 线"。

5.2 P(cp)（变点概率）

P(cp) = P(r=0)

当前这根 K 线是变点的概率。P(cp)=0.05 说明有 5% 的概率刚刚发生了 regime 切换。

5.3 三个指标的组合解读

6. 在交易系统中的应用

6.1 拦截逻辑

if P(trending) > 0.8:
    硬拦截，不允许开仓

当 BOCPD 判断市场处于趋势状态的概率超过 80% 时，Layer0 直接拦截。这是动量过滤器最顶层的安全门控。

6.2 跨层共享

BOCPD 的 trend_probability 还会传递给下游层：

• Layer2（CUSUM）：当 P(trending) > 0.5 时，微调 CUSUM 阈值（最多下调 10%），使拦截更灵敏
• 诊断日志：drift_mean、MAP_r、P(cp) 作为辅助信息输出，帮助理解拦截原因

6.3 日志示例

Layer0-BOCPD趋势机制: P(trending)=0.949>0.8 | drift=-0.003821 MAP_r=1 P(cp)=0.050

解读：

• P(trending)=0.949：94.9% 概率处于趋势状态，超过 80% 阈值 → 拦截
• drift=-0.003821：概率加权漂移为 -0.38%/K线，方向为下跌
• MAP_r=1：最可能的 run length 为 1，刚发生变点
• P(cp)=0.050：当前 K 线是变点的概率为 5%（等于先验，说明没有额外的变点信号）

7. 参数配置

8. 算法特点总结